Pembuktian Hukum Komutatif (Aljabar Himpunan)
Apa itu hukum komutatif? Hukum Komutatif adalah salah satu prinsip dasar dalam matematika yang mengatakan bahwa urutan operand pada suatu operasi tidak akan mempengaruhi hasil akhir dari operasi tersebut. Dalam bidang aljabar, hukum komutatif juga sering disebut sebagai hukum pertukaran.
Contoh penerapan hukum komutatif yang paling sederhana adalah pada operasi penjumlahan dan perkalian. Misalnya, jika kita memiliki dua bilangan a dan b, maka menurut hukum komutatif:
Penjumlahan
a + b = b + a
Ini berarti bahwa hasil penjumlahan antara a dan b sama persis dengan hasil penjumlahan antara b dan a. Singkatnya, urutan operand pada penjumlahan tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Perkalian
a * b = b * a
Sama halnya seperti pada penjumlahan, urutan operand pada perkalian juga tidak mempengaruhi hasil akhirnya. Sehingga perkalian antara a dan b akan menghasilkan angka yang sama dengan perkalian antara b dan a.
Nah, berikut ini adalah ilustrasi pembuktian hukum komutatif pada operasi penjumlahan dan perkalian. Mari kita simak dengan seksama!
Penjumlahan
Pada ilustrasi di atas, terdapat dua himpunan bilangan, yaitu himpunan A dan himpunan B. Kita akan melihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan.
Himpunan A terdiri dari bilangan 2, 3, dan 5, sedangkan himpunan B terdiri dari bilangan 4, 1, dan 6. Mari kita lakukan penjumlahan antara kedua himpunan tersebut.
Jika kita menjumlahkan angka-angka pada himpunan A dengan angka-angka pada himpunan B, maka hasilnya adalah sebagai berikut:
2 + 4 = 6
3 + 1 = 4
5 + 6 = 11
Sekarang, mari kita tambahkan angka-angka pada himpunan B dengan angka-angka pada himpunan A.
Jika kita menjumlahkan angka-angka pada himpunan B dengan angka-angka pada himpunan A, maka hasilnya adalah sebagai berikut:
4 + 2 = 6
1 + 3 = 4
6 + 5 = 11
Terlihat bahwa hasil penjumlahan antara himpunan A dengan himpunan B sama persis dengan hasil penjumlahan antara himpunan B dengan himpunan A. Inilah yang membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan.
Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam penjumlahan, urutan operand tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Perkalian
Selanjutnya, mari kita buktikan pula hukum komutatif pada operasi perkalian. Kita akan menggunakan himpunan A dan himpunan B yang sama seperti pada pembuktian sebelumnya.
Jika kita mengalikan angka-angka pada himpunan A dengan angka-angka pada himpunan B, maka hasilnya adalah sebagai berikut:
2 * 4 = 8
3 * 1 = 3
5 * 6 = 30
Sekarang, mari kita kalikan angka-angka pada himpunan B dengan angka-angka pada himpunan A.
Jika kita mengalikan angka-angka pada himpunan B dengan angka-angka pada himpunan A, maka hasilnya adalah sebagai berikut:
4 * 2 = 8
1 * 3 = 3
6 * 5 = 30
Sama seperti pada penjumlahan, hasil perkalian antara himpunan A dengan himpunan B sama persis dengan hasil perkalian antara himpunan B dengan himpunan A. Inilah yang membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian.
Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam perkalian, urutan operand tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Hukum Komutatif dalam Matematika
Apa itu hukum komutatif dalam matematika? Selain pada operasi penjumlahan dan perkalian, hukum komutatif juga berlaku pada beberapa operasi matematika lainnya, seperti pengurangan dan pembagian.
Hukum Komutatif pada Pengurangan
Pada operasi pengurangan, hukum komutatif juga berlaku. Misalnya, jika kita memiliki dua bilangan a dan b, maka menurut hukum komutatif:
a – b = b – a
Ini berarti bahwa hasil pengurangan antara a dan b akan sama persis dengan hasil pengurangan antara b dan a. Dalam hal ini, urutan operand pada pengurangan tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Contoh penerapan hukum komutatif pada pengurangan:
5 – 3 = 2
3 – 5 = -2
Terlihat bahwa hasil pengurangan antara 5 dan 3 adalah 2, dan hasil pengurangan antara 3 dan 5 adalah -2. Meskipun hasilnya berbeda, namun tetap memenuhi hukum komutatif, karena urutan operand pada pengurangan tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Hukum Komutatif pada Pembagian
Selain itu, hukum komutatif juga berlaku pada operasi pembagian. Misalnya, jika kita memiliki dua bilangan a dan b, maka menurut hukum komutatif:
a / b = b / a
Ini berarti bahwa hasil pembagian antara a dan b akan sama persis dengan hasil pembagian antara b dan a. Dalam hal ini, urutan operand pada pembagian tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Contoh penerapan hukum komutatif pada pembagian:
10 / 2 = 5
2 / 10 = 0.2
Terlihat bahwa hasil pembagian antara 10 dan 2 adalah 5, dan hasil pembagian antara 2 dan 10 adalah 0.2. Meskipun hasilnya berbeda, namun tetap memenuhi hukum komutatif, karena urutan operand pada pembagian tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Pembuktian Hukum Komutatif dengan Berbagai Jenis Himpunan
Sekarang, mari kita lihat bagaimana hukum komutatif dapat diterapkan pada berbagai jenis himpunan.
Pada ilustrasi di atas, terdapat beberapa jenis himpunan, yaitu himpunan A, himpunan B, dan himpunan C. Setiap himpunan memiliki beberapa elemen yang berbeda.
Kita akan melihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian dalam berbagai jenis himpunan ini.
Himpunan Bilangan Asli
Pertama, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli terdiri dari bilangan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Jika kita menjumlahkan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5
Terlihat bahwa hasil penjumlahan antara 2 dan 3 adalah 5, dan hasil penjumlahan antara 3 dan 2 juga adalah 5. Ini membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dalam himpunan bilangan asli.
Selanjutnya, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian dalam himpunan bilangan asli.
Jika kita mengalikan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
2 * 3 = 6
3 * 2 = 6
Terlihat bahwa hasil perkalian antara 2 dan 3 adalah 6, dan hasil perkalian antara 3 dan 2 juga adalah 6. Ini membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian dalam himpunan bilangan asli.
Himpunan Bilangan Bulat
Selanjutnya, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat terdiri dari bilangan positif, nol, dan bilangan negatif.
Jika kita menjumlahkan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
-2 + 3 = 1
3 + (-2) = 1
Terlihat bahwa hasil penjumlahan antara -2 dan 3 adalah 1, dan hasil penjumlahan antara 3 dan -2 juga adalah 1. Ini membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dalam himpunan bilangan bulat.
Selanjutnya, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian dalam himpunan bilangan bulat.
Jika kita mengalikan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
-2 * 3 = -6
3 * (-2) = -6
Terlihat bahwa hasil perkalian antara -2 dan 3 adalah -6, dan hasil perkalian antara 3 dan -2 juga adalah -6. Ini membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian dalam himpunan bilangan bulat.
Himpunan Bilangan Rasio
Berikutnya, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan rasio. Himpunan bilangan rasio terdiri dari bilangan pecahan atau bilangan dengan bentuk a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Jika kita menjumlahkan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
1/2 + 1/3 = 5/6
1/3 + 1/2 = 5/6
Terlihat bahwa hasil penjumlahan antara 1/2 dan 1/3 adalah 5/6, dan hasil penjumlahan antara 1/3 dan 1/2 juga adalah 5/6. Ini membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dalam himpunan bilangan rasio.
Selanjutnya, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian dalam himpunan bilangan rasio.
Jika kita mengalikan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
1/2 * 1/3 = 1/6
1/3 * 1/2 = 1/6
Terlihat bahwa hasil perkalian antara 1/2 dan 1/3 adalah 1/6, dan hasil perkalian antara 1/3 dan 1/2 juga adalah 1/6. Ini membuktikan bahwa hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian dalam himpunan bilangan rasio.
Himpunan Bilangan Real
Terakhir, mari kita lihat apakah hukum komutatif berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan real. Himpunan bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irasional.
Jika kita menjumlahkan bilangan-bilangan dalam himpunan ini, maka apakah hasilnya akan tetap sama jika urutan operandnya dibalik?
Contoh:
2.5 + 3.7 = 6.2
3.7 + 2.5 = 6.2
Terlihat bahwa hasil penjumlahan antara 2.5 dan 3.7 adalah 6.2, dan hasil penjumlahan antara
