Saat belajar matematika di sekolah, salah satu topik yang sering kali dijumpai adalah pertumbuhan dan peluruhan. Untuk membantu Anda memahami konsep tersebut, berikut ini disajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pertumbuhan dan peluruhan untuk kelas 11 dan 12.
Contoh Soal dan Pembahasan Pertumbuhan dan Peluruhan Matematika Kelas 12
Soal: Suatu populasi semut diperkirakan mempunyai waktu bertahan hidup selama 10 tahun. Jika populasi pada awalnya terdiri dari 1000 ekor semut, maka suatu persamaan yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan populasi semut y = f(t) dengan t dalam tahun dan y dalam ribu ekor semut adalah….
Pembahasan: Dari soal diketahui bahwa waktu bertahan hidup semut adalah 10 tahun, sehingga mengacu pada model pertumbuhan, diperoleh persamaan sebagai berikut:
y = y0ekt
y0 = 1000
t = 10
Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan:
y = 1000ek(10)
y = 1000e10k
y = 2000 saat t = 20
Diketahui bahwa jumlah semut meningkat dua kali lipat setelah 10 tahun, sehingga didapatkan persamaan:
2y0 = y0ek(10)
2 = e10k
k = 0,0693
Sehingga persamaan yang tepat untuk menggambarkan pertumbuhan populasi semut y = f(t) adalah:
y = 1000e0,693t
Contoh Soal dan Pembahasan Pertumbuhan Matematika Kelas 11 : Materi Bunga Pertumbuhan
Soal: Suatu populasi bunga mengalami pertumbuhan sebesar 15% per tahun. Pada tahun 2015 jumlah bunga tersebut 1000 ekor. Tentukan jumlah bunga pada tahun 2020.
Pembahasan: Dalam kasus ini, kita akan menggunakan persamaan pertumbuhan eksponensial. Dalam pertumbuhan eksponensial, populasi bertambah seiring dengan waktu menggunakan rumus:
P(t) = P0 * ert
Dimana P(t) adalah jumlah populasi pada waktu tertentu, P0 adalah jumlah populasi awal (dalam kasus ini 1000), r adalah tingkat pertumbuhan, dan t adalah waktu dalam tahun.
Kita sudah diketahui r, yaitu 15%. Dalam hitungan matematika, kita harus mengubah 15% ke bentuk desimal dengan membaginya dengan 100.
r = 15% = 0,15
Selanjutnya, kita perlu menghitung jumlah populasi pada tahun 2020. Kita tahu bahwa sudah 5 tahun sejak 2015, jadi t = 5.
P(2020) = P0 * ert
P(2020) = 1000 * e0,15*5
P(2020) = 1000 * e0,75
P(2020) ≈ 2288,9
Nilai tersebut bisa dibulatkan menjadi 2290. Maka, jumlah bunga pada tahun 2020 adalah sekitar 2290.
Contoh Soal Pertumbuhan Matematika Kelas 12 – AsriPortal.com
Soal: Seorang petani memiliki sawah seluas 1000 m2. Setiap tahunnya, populasi tanaman padi di sawah tersebut meningkat sebanyak 10%. Pada tahun pertama, petani tersebut menanam bibit padi sebanyak 1000 ekor. Tentukan jumlah bibit padi yang sudah ditanam oleh petani pada tahun ke-5.
Pembahasan: Dalam kasus ini, kita akan menggunakan persamaan pertumbuhan eksponensial seperti pada contoh sebelumnya. Letakkan P0 dan r pada rumus, yaitu:
P(t) = P0 * ert
Dalam kasus ini, populasi awal P0 sama dengan jumlah bibit padi yang ditanam pada tahun pertama, yaitu 1000. Tingkat pertumbuhan r adalah 10%, atau 0,1 dalam bentuk desimal.
Pada tahun ke-5, t = 5. Sehingga, jumlah bibit padi yang sudah ditanam oleh petani pada tahun ke-5 bisa dihitung dengan rumus:
P(5) = P0 * ert
P(5) = 1000 * e0,1*5
P(5) = 1000 * e0,5
P(5) ≈ 1648
Jumlah bibit padi yang sudah ditanam oleh petani pada tahun ke-5 adalah sekitar 1648.
Kumpulan Contoh Soal Peluruhan – Matematika Kelas 11 | CoLearn – Halaman 3
Soal: Tentukan waktu yang diperlukan untuk suatu zat radioaktif mengalami peluruhan sebanyak 70% dari jumlah semula jika waktu paruh zat tersebut 30 tahun.
Pembahasan: Dalam kasus peluruhan, kita menggunakan rumus:
A = A0 * (1/2)t\/TP
Dimana A adalah jumlah zat radioaktif pada waktu tertentu, A0 adalah jumlah zat radioaktif awal, t adalah waktu dalam tahun, dan TP adalah waktu paruh zat radioaktif.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari berapa persen zat radioaktif yang tersisa pada saat peluruhan 70% terjadi. Mengacu pada rumus peluruhan:
A = A0 * (1/2)t\/TP
Lakukan manipulasi agar rumus tersebut menjadi:
(A \/ A0) = (1/2)t\/TP
Untuk menjawab soal ini, kita perlu mencari nilai t saat A \/ A0 = 0,3. Untuk menyelesaikan soal tersebut, gunakan logaritma pada kedua sisi persamaan:
log(A \/ A0) = log(1/2)t\/TP
log(A \/ A0) = (t\/TP) * log(1/2)
t = (log(A \/ A0)) \/ (log(1/2) \/ TP)
Substitusikan nilai TP = 30 dan A \/ A0 = 0,3 ke dalam persamaan:
t = (log(0,3)) \/ (log(1/2) \/ 30)
t ≈ 103,47 tahun
Waktu yang diperlukan untuk suatu zat radioaktif mengalami peluruhan sebanyak 70% dari jumlah semula adalah sekitar 103 tahun.
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pertumbuhan dan peluruhan matematika untuk kelas 11 dan 12. Semoga bermanfaat untuk meningkatkan pemahaman Anda terhadap topik tersebut.
