Limit fungsi merupakan topik yang seringkali dibahas dalam matematika, khususnya aljabar. Dalam pembahasannya terdapat beberapa unsur penting seperti apa itu, mengapa, cara, dan contohnya. Berikut ini adalah beberapa contoh soal dan pembahasan limit fungsi aljabar yang dapat membantu Anda dalam memahami konsep ini dengan lebih baik.
Contoh Soal Dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar
Berikut ini adalah beberapa contoh soal dan pembahasan limit fungsi aljabar :
Contoh Soal 1
Hitunglah $\lim\limits_x \to 1 \fracx^4 – 1x^3 – 1$.
Apa Itu Limit Fungsi Aljabar ?
Limit fungsi aljabar adalah suatu nilai batas yang dihasilkan dari suatu operasi matematika pada suatu variabel yang mendekati nilai tertentu, dalam hal ini nilai bertingkat. Contohnya dalam persamaan $\lim\limits_x \to a f(x)$. Dimana a merupakan nilai yang didekati oleh x dan $f(x)$ merupakan fungsi atau persamaan yang akan diperhitungkan.
Mengapa Harus Mempelajari Limit Fungsi Aljabar ?
Konsep limit fungsi aljabar dapat dihubungkan dengan materi lain dalam matematika seperti turunan, integral, dan sebagainya. Oleh karena itu, memahami konsep limit fungsi aljabar dapat memudahkan Anda dalam mempelajari berbagai konsep matematika yang lebih kompleks.
Cara Menghitung Limit Fungsi Aljabar
Cara menghitung limit fungsi aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode seperti metode substitusi, aturan L’Hopital, atau menggunakan faktorisasi aljabar. Pada contoh soal di atas, kita dapat menggunakan aturan L’Hopital untuk menyelesaikannya.
Contoh Penerapan Limit Fungsi Aljabar
Contoh soal di atas merupakan contoh penerapan limit fungsi aljabar pada suatu persamaan. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan aturan L’Hopital untuk menyelesaikan soal tersebut. Berikut adalah cara menghitungnya :
Kita dapat menuliskan soal di atas dalam bentuk sebagai berikut :
$$\lim\limits_x \to 1 \fracx^4 – 1x^3 – 1 = \lim\limits_x \to 1 \frac(x^2 + 1)(x^2 – 1)(x-1)(x^2 + x + 1)$$
Dalam bentuk ini, kita dapat menghilangkan faktor $(x-1)$ pada penyebut dengan memfaktorkan $(x^2 + x + 1)$. Kita dapat menulis ulang persamaan tersebut dengan menggunakan pemfaktoran sebagai berikut :
$$\lim\limits_x \to 1 \frac(x^2 + 1)(x+1)(x-1)(x-1)(x^2 + x + 1)$$
Setelah itu, kita dapat menghapus faktor $(x-1)$ pada penyebut dan penyebut dengan menggunakan aturan L’Hopital :
$$\lim\limits_x \to 1 \frac(2x)(x+1)(2x + 1) = \frac43$$
Sehingga, nilai limit fungsi aljabar $\lim\limits_x \to 1 \fracx^4 – 1x^3 – 1$ adalah $\frac43$.
Contoh Soal 2
Tentukan nilai limit fungsi $\displaystyle \lim_x\to\infty \frac1-2x^2 + x^42+5x^2 – 3x^4$.
Apa Itu Limit Fungsi Aljabar ?
Limit fungsi aljabar adalah suatu nilai batas yang dihasilkan dari suatu operasi matematika pada suatu variabel yang mendekati nilai tertentu, dalam hal ini nilai bertingkat. Contohnya dalam persamaan $\lim\limits_x \to a f(x)$. Dimana a merupakan nilai yang didekati oleh x dan $f(x)$ merupakan fungsi atau persamaan yang akan diperhitungkan.
Mengapa Harus Mempelajari Limit Fungsi Aljabar ?
Konsep limit fungsi aljabar dapat dihubungkan dengan materi lain dalam matematika seperti turunan, integral, dan sebagainya. Oleh karena itu, memahami konsep limit fungsi aljabar dapat memudahkan Anda dalam mempelajari berbagai konsep matematika yang lebih kompleks.
Cara Menghitung Limit Fungsi Aljabar
Cara menghitung limit fungsi aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode seperti metode substitusi, aturan L’Hopital, atau menggunakan faktorisasi aljabar. Pada contoh soal di atas, kita dapat menggunakan faktorisasi aljabar untuk menyelesaikannya.
Contoh Penerapan Limit Fungsi Aljabar
Contoh soal di atas merupakan contoh penerapan limit fungsi aljabar pada suatu persamaan. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan faktorisasi aljabar untuk menyelesaikannya. Berikut adalah cara menghitungnya :
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlu menggunakan teknik faktorisasi aljabar pada pembilang dan penyebut. Kita dapat menggunakan monomial tertinggi pada pembilang dan penyebut sebagai faktor luar :
$$\lim_x\to\infty\fracx^4(1-2/x^2+x^4)x^4(2/x^4+5/x^2-3)$$
Setelah itu, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan memangkatkan $(1/x^4)$ pada pembilang dan penyebut :
$$\lim_x\to\infty\fracx^4[(1/x^4)-2(1/x^2)+1](2/x^4)+5(1/x^2)-3$$
Dalam bentuk ini, kita dapat melihat bahwa monomial tertinggi pada pembilang adalah $(x^4)$ dan monomial tertinggi pada penyebut adalah $(3x^4)$. Karena itu, kita dapat menggunakan aturan limit pada pecahan :
$$\lim_x\to\infty\fracx^4[1/x^4-2(1/x^2)+1]x^4[2/x^4+5(1/x^2)-3]$$
Setelah itu, kita dapat menyingkat faktor $(x^4)$ pada pembilang dan penyebut :
$$\lim_x\to\infty\frac1-2/x^2+1/x^42/x^4+5/x^2-3$$
Dalam bentuk ini, kita dapat menghasilkan suatu konstanta yaitu 1.
$$\frac12/1 \cdot \infty+5 \cdot \infty^2/1-3 \cdot \infty^4/1=\frac1\infty=\boxed0$$
Sehingga, nilai limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_x\to\infty \frac1-2x^2 + x^42+5x^2 – 3x^4$ adalah 0.
