Contoh Soal Determinan Matriks 3×3

Halo teman-teman semua! Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang matriks dan invers matriks. Mungkin di antara kalian ada yang sudah belajar ini di sekolah, tapi kita akan ulang kembali ya supaya semakin paham. Yuk, langsung simak penjelasannya!

Rumus Invers Matriks

Matriks invers adalah sebuah matriks yang kalau dikalikan dengan matriks asalnya, hasilnya akan menghasilkan matriks identitas. Jadi, rumus invers matriks adalah A^-1. Misalkan kita punya matriks A yang berukuran 2×2, maka rumus invers matriks untuk matriks A adalah:

Apa Itu Determinan Matriks?

Determinan matriks adalah suatu angka yang dihasilkan dari operasi matematika pada matriks. Determinan matriks biasanya dilambangkan dengan simbol det(A). Setiap matriks memiliki determinan masing-masing, baik matriks dengan ordo 2×2, 3×3, 4×4, dan seterusnya.

Mengapa Determinan Matriks Penting?

Determinan matriks memiliki banyak peran penting di dalam matematika, terutama dalam aljabar linear. Beberapa contoh manfaat dari determinan matriks adalah:

• Menentukan apakah sebuah matriks memiliki invers atau tidak
• Menentukan apakah sebuah sistem persamaan linier bisa diselesaikan atau tidak
• Menghitung luas atau volume suatu bangun geometri dengan menggunakan matriks

Cara Menentukan Determinan Matriks

Ada beberapa cara untuk menentukan determinan matriks, tergantung dari ordo matriks itu sendiri. Dalam penjelasan kali ini, kita akan fokus pada matriks ordo 3×3. Berikut adalah langkah-langkah untuk menentukan determinan matriks 3×3 menggunakan metode minor-kofaktor:

1. Tuliskan matriks 3×3 ke dalam bentuk tabel, seperti contoh berikut:
   
   | a₁₁ a₁₂ a₁₃ |
   
   | a₂₁ a₂₂ a₂₃ |
   
   | a₃₁ a₃₂ a₃₃ |
2. Buatlah matriks minor dengan menghilangkan baris dan kolom pertama dari matriks awal. Misalnya, untuk mencari minor m₁₁, tinggal hilangkan baris dan kolom pertama, sehingga matriks minor yang dihasilkan adalah:
   
   | a₂₂ a₂₃ |
   
   | a₃₂ a₃₃ |
3. Hitung nilai dari matriks minor tersebut menggunakan rumus:
   
   m_ij = (-1)^i+j det(A_ij)
   
   di mana i dan j adalah baris dan kolom dari elemen yang sedang dikalkulasi, dan A_ij adalah matriks yang dihasilkan setelah menghilangkan baris dan kolom yang bersesuaian. Jadi, untuk mencari nilai dari m₁₁, rumusnya adalah:
   
   m₁₁ = (-1)¹⁺¹ det(A₁₁)
4. Hitung kofaktor matriks dengan mengalikan nilai matriks minor dengan faktor pengali (-1)^i+j. Misalnya, untuk mencari kofaktor A₁₁, rumusnya adalah:
   
   C₁₁ = (-1)¹⁺¹ m₁₁
5. Hitung determinan matriks dengan menjumlahkan hasil perkalian setiap elemen pada baris atau kolom pertama dengan kofaktornya. Jadi, rumusnya adalah:
   
   det(A) = a₁₁ C₁₁ + a₁₂ C₁₂ + a₁₃ C₁₃

Contoh Soal Determinan Matriks 3×3

Berikut adalah contoh soal untuk menentukan determinan dari sebuah matriks berukuran 3×3:

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah membuat matriks minor untuk setiap elemen pada baris atau kolom pertama. Misalnya, untuk elemen a₁₁, kita dapat menghasilkan matriks minor sebagai berikut:

| 5  6 |
| 8  9 |

Kemudian, hitung nilai dari matriks minor tersebut:

m₁₁ = (-1)¹⁺¹ det(A₁₁) = (-1)(5×9 – 8×6) = -3

Selanjutnya, hitung kofaktor untuk elemen a₁₁:

C₁₁ = (-1)¹⁺¹ m₁₁ = -(-3) = 3

Lakukan hal yang sama untuk semua elemen pada baris atau kolom pertama:

m12 = (-1)1+2 det(A12) = (-1)(4x9 - 7x6) = 6
C12 = (-1)1+2 m12 = -6

m13 = (-1)1+3 det(A13) = (-1)(4x8 - 7x5) = -3
C13 = (-1)1+3 m13 = 3

m21 = (-1)2+1 det(A21) = (-1)(2x9 - 8x3) = -12
C21 = (-1)2+1 m21 = 12

m22 = (-1)2+2 det(A22) = (-1)(1x9 - 7x3) = 18
C22 = (-1)2+2 m22 = -18

m23 = (-1)2+3 det(A23) = (-1)(1x8 - 7x2) = 6
C23 = (-1)2+3 m23 = 6

m31 = (-1)3+1 det(A31) = (-1)(2x6 - 5x3) = -3
C31 = (-1)3+1 m31 = -3

m32 = (-1)3+2 det(A32) = (-1)(1x6 - 4x3) = 3
C32 = (-1)3+2 m32 = -3

m33 = (-1)3+3 det(A33) = (-1)(1x5 - 4x2) = -3
C33 = (-1)3+3 m33 = 3

Terakhir, hitunglah determinan matriks dengan rumus:

det(A) = a₁₁ C₁₁ + a₁₂ C₁₂ + a₁₃ C₁₃

Sehingga,

det(A) = 1×3 + 2(-6) + 3×3 = 0

Dari hasil perhitungan di atas, dapat diketahui bahwa determinan dari matriks yang diberikan adalah 0. Artinya, matriks tersebut tidak memiliki invers.

Sampai di sini dulu ya teman-teman pembahasan kita mengenai matriks dan invers matriks, serta cara untuk menentukan determinan matriks. Semoga penjelasan di atas bermanfaat dan membuat kalian semakin paham mengenai topik ini. Terima kasih sudah membaca, jangan lupa utamakan kesehatan, dan sampai jumpa lagi di artikel selanjutnya!