Jika kamu pernah belajar matematika, pasti kamu sudah tidak asing lagi dengan istilah barisan dan deretan. Dalam matematika, barisan merupakan kumpulan angka yang tersusun secara berurutan dengan pola tertentu. Sedangkan deretan adalah penjumlahan dari sebuah barisan. Tetapi, pernahkah kamu mendengar istilah barisan konvergen dan divergen?
Barisan Konvergen
Barisan konvergen adalah sebuah barisan matematika yang memiliki limit atau batas tertentu. Artinya, semakin jauh suku dalam barisan tersebut dapat diperkirakan semakin mendekati nilai batas tersebut.
Apa itu limit? Limit adalah nilai yang diperkirakan akan dicapai oleh barisan konvergen ketika jumlah suku dalam barisan tersebut mendekati tak terbatas. Misalnya, jika sebuah barisan memiliki limit 5, maka semakin banyak suku dalam barisan tersebut, semakin mendekati nilai 5.
Mengapa Barisan Konvergen Penting?
Barisan konvergen sangat penting dalam matematika karena kita dapat menggunakan limitnya untuk melakukan berbagai penghitungan. Misalnya, dapat digunakan untuk menghitung integral, luas suatu bidang, atau menghitung kecepatan suatu benda.
Barisan Divergen
Sebaliknya, barisan divergen adalah barisan matematika yang tidak memiliki batas atau limit tertentu. Artinya, semakin jauh suku dalam barisan tersebut dapat diperkirakan semakin jauh pula dari nilai batas.
Sebagai contoh, barisan 1, 2, 3, 4, 5, … merupakan barisan divergen karena tidak memiliki batas atau limit tertentu.
Cara Menghitung Barisan Konvergen dan Divergen
Untuk menghitung apakah sebuah barisan merupakan barisan konvergen atau divergen, perlu dilakukan dua hal:
1. Tentukan limit barisan
Tentukan nilai limit atau batas dari barisan tersebut. Jika barisan memiliki limit, maka barisan tersebut merupakan barisan konvergen. Namun, jika tidak memiliki limit, maka barisan tersebut merupakan barisan divergen.
2. Cek apakah suku ke-n mendekati limit
Setelah menentukan nilai limit, periksa apakah suku ke-n mendekati nilai tersebut. Secara matematis, ini dapat dilakukan dengan cara menghitung selisih antara suku ke-n dengan nilai limit dan memeriksa apakah selisih tersebut semakin kecil ketika n semakin jauh meningkat.
Contoh Soal Barisan Konvergen dan Divergen
Untuk lebih memahami konsep barisan konvergen dan divergen, berikut adalah beberapa contoh soal dan jawabannya:
Contoh Soal Barisan Konvergen
1. Hitunglah nilai dari barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
Jawaban: Kita dapat menentukan nilai limit barisan tersebut dengan menggunakan rumus:
lim n→∞ an = 0
dengan a(n) = 1/n
Dalam hal ini, karena 1/n mendekati nol ketika n mendekati tak terbatas, maka nilai limit barisan tersebut adalah 0. Sehingga barisan ini termasuk dalam barisan konvergen.
2. Hitunglah nilai dari barisan 2, 4, 8, 16, …
Jawaban: Kita dapat melihat bahwa barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio 2. Oleh karena itu, kita dapat menentukan nilai limit barisan tersebut dengan menggunakan rumus:
lim n→∞ an = a(1) / (1 – r)
= 2 / (1 - 2) = -2
Karena nilai limit barisan tersebut adalah -2, maka barisan ini masuk dalam kategori barisan divergen.
Contoh Soal Barisan Divergen
1. Hitunglah nilai dari barisan 1, 2, 3, 4, 5, …
Jawaban: Barisan tersebut tidak memiliki limit atau batas tertentu karena nilainya terus meningkat tanpa henti. Sehingga barisan ini termasuk dalam barisan divergen.
2. Hitunglah nilai dari barisan 5, 10, 15, 20, …
Jawaban: Kita dapat melihat bahwa barisan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan selisih 5. Oleh karena itu, kita dapat menentukan nilai limit barisan tersebut dengan menggunakan rumus:
lim n→∞ an = a(n)
= 5n
Karena nilai limit barisan tersebut tidak memiliki batas tertentu, maka barisan ini masuk dalam kategori barisan divergen.
Jadi, itulah penjelasan tentang barisan konvergen dan divergen dalam matematika. Semoga informasi ini dapat membantu kamu untuk memahami lebih dalam tentang konsep barisan dalam matematika.
