Contoh soal program linear metode grafik dan penyelesaian:
Contoh Soal 1
Apa itu Program Linear?
Program linear adalah suatu teknik optimasi matematis untuk mencari nilai maksimal atau minimal dari suatu fungsi objektif linier, yang merupakan fungsi linear dari beberapa variabel keputusan yang dikenakan sejumlah kendala yang dinyatakan dalam bentuk fungsi linier.
Mengapa Program Linear Penting?
Program linear digunakan dalam berbagai bidang, seperti manajemen, ekonomi, keuangan, rekayasa, dan sebagainya. Dalam manajemen, program linear digunakan dalam perencanaan produksi, alokasi anggaran, dan penjadwalan proyek. Dalam ekonomi, program linear digunakan untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya pada kegiatan produksi dan optimalisasi portofolio investasi.
Bagaimana cara menyelesaikan Program Linear?
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan program linear, di antaranya:
- Metode Grafik
- Metode Simpleks
- Metode Matriks Invers
Dalam contoh soal ini, kita akan menggunakan metode grafik untuk menyelesaikan program linear.
Contoh Soal:
Seorang pengusaha hendak memproduksi dua jenis produk, yaitu A dan B. Produk A membutuhkan 4 jam kerja dan 2 unit bahan baku untuk setiap unit produk, sedangkan produk B membutuhkan 5 jam kerja dan 4 unit bahan baku untuk setiap unit produk. Pengusaha tersebut hanya memiliki waktu kerja maksimal 20 jam per hari dan stok bahan baku maksimal 40 unit per hari. Jika laba bersih yang didapatkan dari penjualan produk A adalah Rp 15.000 per unit dan dari produk B adalah Rp 30.000 per unit, tentukan berapa banyak produk yang harus diproduksi agar pengusaha tersebut mendapatkan laba bersih maksimum!
Penyelesaian:
Langkah pertama dalam menggunakan metode grafik adalah menggambar grafik kendala yang terkait dengan jumlah waktu kerja dan bahan baku yang tersedia. Grafik kendala waktu kerja dapat digambarkan sebagai berikut:
Grafik kendala bahan baku dapat digambarkan sebagai berikut:
Titik potong antara garis-garis tersebut merupakan daerah yang memungkinkan produksi. Karena kita ingin mencari laba bersih maksimum, kita harus menemukan persamaan garis fungsi objektif yang sesuai. Fungsi objektif dalam contoh ini adalah:
z = 15000xA + 30000xB
Untuk mempermudah, kita asumsikan grafik di atas berada dalam skala yang sama sehingga mudah dibaca. Oleh karena itu, untuk menentukan koordinat titik potong, kita bisa mencari solusi sistem persamaan linear berikut:
4xA + 5xB = 20
2xA + 4xB = 40
Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut, kita dapatkan:
4xA + 5xB = 20
-4xA – 8xB = -80
xB = 6
Dari sini, kita bisa menentukan jumlah produk A yang harus dihasilkan:
4xA + 5(6) = 20
4xA = -5
xA = 1.25
Sehingga, pengusaha harus memproduksi 1.25 unit produk A dan 6 unit produk B agar mendapatkan laba bersih maksimum sebesar Rp 217.500.
Contoh Soal 2
Apa itu Persamaan Linear Satu Variabel?
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya mengandung satu variabel dan memiliki bentuk umum a1x + a0 = 0, dengan a1 dan a0 adalah bilangan riil.
Mengapa Persamaan Linear Satu Variabel Penting?
Persamaan ini penting dalam matematika dan fisika karena dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah, seperti menemukan ukuran yang tidak terlihat, menentukan waktu tempuh, dan sebagainya.
Bagaimana cara menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel?
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel, di antaranya:
- Metode Substitusi
- Metode Eliminasi
- Metode Ekuivalen
Dalam contoh soal ini, kita akan menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel.
Contoh Soal:
Sebelum UTS, Budi membahas soal-soal latihan matematika selama 2 jam pada jam 15.00-17.00. Setelah latihan, Budi melanjutkan belajar sejarah selama 3 jam mulai jam 18.00-21.00. Budi kemudian melanjutkan lagi belajar matematika mulai jam 21.30-23.30. Jika Budi harus tidur paling lambat jam 00.00 supaya cukup istirahat, berapa lama waktu maksimal yang bisa digunakan Budi untuk tidur?
Penyelesaian:
Kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan mengubah waktu ke dalam satuan yang sama, misalnya menit. Sehingga waktu yang diperoleh adalah sebagai berikut:
Latihan matematika: 15.00-17.00 (120 menit)
Belajar sejarah: 18.00-21.00 (180 menit)
Belajar matematika: 21.30-23.30 (120 menit)
Waktu tidur maksimal: 24.00 (1440 menit)
Diketahui bahwa waktu yang digunakan untuk belajar matematika dan sejarah adalah 120 + 180 + 120 = 420 menit. Dengan demikian, waktu yang digunakan untuk tidur adalah:
1440 – 420 = 1020 menit
Jika satu jam terdiri dari 60 menit, maka waktu tidur maksimal yang dapat digunakan Budi adalah:
1020 / 60 = 17 jam
Sehingga, Budi dapat tidur maksimal selama 17 jam.
