Contoh Soal Induksi Matematika Keterbagian

Contoh Soal Dan Pembahasan Materi Induksi Matematika

Apa itu induksi matematika?

Induksi matematika adalah suatu teknik pembuktian pada matematika. Teknik ini dikenal sebagai teknik pembuktian pada pernyataan yang dinyatakan dalam suatu keluarga bilangan bulat positif.

Mengapa induksi matematika digunakan dalam matematika?

Induksi matematika digunakan dalam matematika karena dapat membuktikan berbagai macam pernyataan matematika dengan mudah melalui cara pengolahan yang sistematis dan logis.

Bagaimana cara menggunakan teknik induksi matematika?

Cara menggunakan teknik induksi matematika adalah sebagai berikut:

Langkah awal, perlu adanya sebuah pernyataan yang benar untuk nilai awal.
Langkah berikutnya, memperlihatkan bahwa ketika benar untuk bilangan bulat k, maka benar pula untuk k + 1.
Langkah terakhir, dapat menyimpulkan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan bulat positif.

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan materi induksi matematika:

Diberikan suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. Buktikan bahwa suku ke-n dari barisan tersebut adalah a*r^(n-1) dengan n bilangan bulat positif.

Penyelesaian:

Langkah awal, pernyataan tersebut benar untuk nilai awal n=1, karena suku pertama dari barisan geometri adalah a*r^(1-1) = a.
Langkah berikutnya, diasumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu suku ke-k dari barisan geometri adalah a*r^(k-1).
Langkah terakhir, akan dibuktikan bahwa pernyataan benar pula untuk n=k+1, yaitu suku ke-(k+1) adalah a*r^(k).

Dari asumsi sebelumnya, dapat diperoleh:

suku ke-k = a*r^(k-1)

suku ke-(k+1) = a*r^(k-1)*r

suku ke-(k+1) = a*r^k

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk semua n bilangan bulat positif.

Bukti bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6.

Penyelesaian:

Langkah awal, pernyataan tersebut benar untuk nilai awal n=1, karena 1^2 = 1 dan [1(1+1)(2(1)+1)]/6 = 1.
Langkah berikutnya, diasumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu 1^2+2^2+3^2+…+k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6.
Langkah terakhir, akan dibuktikan bahwa pernyataan benar pula untuk n=k+1, yaitu 1^2+2^2+3^2+…+(k+1)^2 = [(k+1)(k+2)(2k+3)]/6.

Dari asumsi sebelumnya, dapat diperoleh:

1^2+2^2+3^2+…+k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6

(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1

1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6 + (k^2+2k+1)

1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2 = [(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))]/6

1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2 = [(k+1)(2k^2+7k+6)]/6

1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2 = [(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)]/6

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk semua n bilangan bulat positif.

Contoh Soal Penerapan Induksi Matematika Pada Keterbagian

Apa itu penerapan induksi matematika pada keterbagian?

Penerapan induksi matematika pada keterbagian adalah suatu teknik pembuktian pada matematika yang berkaitan dengan keterbagian atau pembagian.

Mengapa penerapan induksi matematika pada keterbagian digunakan dalam matematika?

Penerapan induksi matematika pada keterbagian digunakan dalam matematika karena bisa membuktikan sifat-sifat keterbagian, pembagian, dan sifat-sifat lain yang berkaitan.

Bagaimana cara menggunakan teknik penerapan induksi matematika pada keterbagian?

Cara menggunakan teknik penerapan induksi matematika pada keterbagian adalah sebagai berikut:

Langkah awal, perlu adanya sebuah pernyataan yang benar untuk nilai awal.
Langkah berikutnya, memperlihatkan bahwa ketika benar untuk nilai k, maka benar pula untuk k+1.
Langkah terakhir, dapat menyimpulkan bahwa pernyataan benar untuk semua nilai yang lebih besar atau sama dengan nilai awal.

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan penerapan induksi matematika pada keterbagian:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, jika n^2+1 habis dibagi oleh 2, maka n habis dibagi oleh 2.

Penyelesaian:

Langkah awal, pernyataan tersebut benar untuk n=1, karena 1^2+1 = 2 dan 1 habis dibagi oleh 2.
Langkah berikutnya, diasumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu jika k^2+1 habis dibagi oleh 2, maka k habis dibagi oleh 2.
Langkah terakhir, akan dibuktikan bahwa pernyataan benar pula untuk n=k+1.

Jika (k+1)^2+1 habis dibagi oleh 2, maka k harus ganjil. Maka k+1 adalah genap, sehingga k+1 habis dibagi oleh 2.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika n^2+1 habis dibagi oleh 2, maka n habis dibagi oleh 2.

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk semua n bilangan bulat positif.

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 10^n – 3^n habis dibagi oleh 7.

Penyelesaian:

Langkah awal, pernyataan tersebut benar untuk n=1, karena 10^1 – 3^1 = 7 dan 7 habis dibagi oleh 7.
Langkah berikutnya, diasumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu 10^k – 3^k habis dibagi oleh 7.
Langkah terakhir, akan dibuktikan bahwa pernyataan benar pula untuk n=k+1.

Dari asumsi sebelumnya, dapat diperoleh:

10^k – 3^k = 7a, dengan a adalah bilangan bulat positif.

10^(k+1) – 3^(k+1) = 10*10^k – 3*3^k

10^(k+1) – 3^(k+1) = 10^k*(10-3) + 7*3^k

10^(k+1) – 3^(k+1) = 7(10^k – 3^k) + 21*3^k

10^(k+1) – 3^(k+1) = 7(10^k – 3^k + 3^k) + 21*3^k

10^(k+1) – 3^(k+1) = 7(10^k) + 14*3^k

10^(k+1) – 3^(k+1) = 7(10^k – 3^k) + 21*3^k

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk semua n bilangan bulat positif.