Menuju Pencerahan: Turunan Fungsi Aljabar
Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar Dan Jawabannya
Apa itu turunan fungsi? Turunan fungsi adalah salah satu konsep terpenting dalam kalkulus. Turunan dari suatu fungsi adalah suatu nilai yang menunjukkan bagaimana fungsi tersebut berubah ketika variabel independen mengalami perubahan. Turunan merupakan kebalikan dari integral, sedangkan integral merupakan suatu nilai yang menunjukkan luas area bawah suatu kurva.
Mengapa turunan fungsi penting? Turunan fungsi adalah alat penting untuk mempelajari sifat-sifat fungsi, seperti kecepatan, percepatan, dan laju perubahan. Selain itu, turunan juga digunakan untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi.
Bagaimana cara menghitung turunan fungsi? Ada berbagai rumus dan aturan dalam menghitung turunan fungsi, tergantung pada jenis fungsi yang digunakan. Beberapa aturan umum antara lain:
- Aturan turunan konstan: turunan dari konstanta adalah nol.
- Aturan turunan pangkat: turunan dari x pangkat n adalah n kali x pangkat n-1.
- Aturan turunan eksponensial: turunan dari e pangkat x adalah e pangkat x.
- Aturan turunan logaritma: turunan dari logaritma natural x adalah 1/x.
Contoh Soal Turunan Berantai
Apa itu turunan berantai? Turunan berantai adalah konsep dalam kalkulus yang digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi yang terdiri dari fungsi-fungsi yang lebih sederhana.
Mengapa turunan berantai penting? Turunan berantai sangat penting dalam matematika, fisika, dan teknik. Dalam matematika, turunan berantai digunakan untuk mempelajari fungsi-fungsi yang lebih kompleks, seperti fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Dalam fisika, turunan berantai digunakan untuk menghitung percepatan, kecepatan, dan laju perubahan suatu objek.
Bagaimana cara menghitung turunan berantai? Ada beberapa aturan dalam menghitung turunan berantai, antara lain:
- Aturan Chain Rule: Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, maka turunan dari f(g(x)) adalah turunan f(g(x)) dikali dengan turunan g(x).
- Aturan Pembagian: Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, maka turunan dari f(x) dibagi dengan g(x) adalah turunan f(x) dikalikan dengan 1/g(x) dikurangi dengan f(x) dikali dengan turunan g(x) dibagi dengan g(x) pangkat 2.
- Aturan Perkalian: Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, maka turunan dari f(x) dikali dengan g(x) adalah turunan f(x) dikali dengan g(x) ditambah dengan f(x) dikali dengan turunan g(x).
Berikut adalah contoh soal turunan berantai:
Jika f(x) = 2x pangkat 3 + 5x pangkat 2, dan g(x) = x pangkat 2 – 3x + 1, hitung turunan dari f(g(x)).
Langkah pertama adalah menghitung turunan dari g(x):
- g'(x) = 2x – 3
Selanjutnya, kita substitusikan g(x) ke dalam f(x):
- f(g(x)) = 2(g(x)) pangkat 3 + 5(g(x)) pangkat 2
- f(g(x)) = 2(x pangkat 2 – 3x + 1) pangkat 3 + 5(x pangkat 2 – 3x + 1) pangkat 2
Kemudian, kita hitung turunan dari f(g(x)) dengan menggunakan aturan Chain Rule:
- f'(g(x)) = 2(g(x)) pangkat 3 + 5(g(x)) pangkat 2
- g'(x) = 2x – 3
- f'(g(x)) = 2(x pangkat 2 – 3x + 1) pangkat 3 + 5(x pangkat 2 – 3x + 1) pangkat 2
- f'(g(x)) = 2(x pangkat 2 – 3x + 1) pangkat 3 + 5(x pangkat 2 – 3x + 1) pangkat 2 (2x – 3)
Sehingga, turunan dari f(g(x)) adalah:
- f'(g(x)) = (2x pangkat 2 – 6x + 2) pangkat 3 + (5x pangkat 2 – 15x + 5) pangkat 2 (2x – 3)
Itulah contoh soal turunan berantai dan cara menghitungnya.
Dengan memahami konsep turunan fungsi dan turunan berantai, Anda dapat memecahkan berbagai masalah matematika dan fisika yang lebih kompleks. Jangan ragu untuk berlatih dengan contoh soal seperti yang telah diberikan di atas, dan jangan lupa untuk menggunakan aturan dan rumus yang telah dipelajari. Semakin sering berlatih, kemampuan Anda dalam menghitung turunan fungsi dan turunan berantai akan semakin terasah. Selamat belajar!
